什么是自然常数e
请尊重原作者的工作，转载时请务必注明转载自：www.xionggf.com
自然对数的“底”来源于自然对数，所谓的“自然对数”可以用下面的一个函数来说明： 一个物体沿直线运动，令时间为$x$。且速度和时间成反比例关系，即为$\frac{1}{x}$。则该物体的位移计算写成不定积分的形式为：
$$ \int{\frac{1}{x}}dx $$
先不要考虑“鸡生蛋蛋生鸡，现在要说明什么是e，却又直接定义e”的问题。根据微积分知识，不考虑积分后的常数项的问题，上述的不定积分的值即是以e为底的对数：
$$ \log _ex=\ln x=\int{\frac{1}{x}}dx $$
现在的任务是，如何求这个底数$e$的值。首先根据对数函数的特性：
$$ \ln \left( ab \right) =\ln \left( a \right) +\ln \left( b \right) $$
所以
$$ \ln \left( a^N \right) =N\ln \left( a \right) $$
注意N是整数，所以这里是普通的乘幂，不需要用到指数函数的概念，这样我们既然求e有困难，也就是说难以根据式子$\ln \left( e \right) =1$反推出$e$的值，那可以我们先求某个值$a$，使得：
$$ \ln \left( a \right) =\frac{1}{N} $$
这样就有
$$ \ln \left( a^N \right) =1 $$
也就是
$$ e=a^N $$
[公式]
参考网页
参考视频
预备：有限增量公式
根据导数的定义，函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处求导，写成极限的形式为： $$ f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} (式1) $$
因为上式左右相等，故而有： $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} - f'(x_{0}) = 0 (式2) $$
又根据“ 极限之差等于差之极限 ”，所以式2中对 $\Delta x$ 的求极限的操作等价于： $$ \lim_{\Delta x \to 0} [\frac{f(x_{0}+\Delta x )-f(x_{0})}{\Delta x} -f'(x_{0} )]=0(式3) $$
又根据极限之定义，当 $\Delta x\to 0$ 时，极限值为0，则称求极限的表达式为无穷小量。用 $\varepsilon$ 表示，所以式3有： $$ \frac{f(x_{0}+\Delta x )-f(x_{0})}{\Delta x} -f'(x_{0} )=\varepsilon $$
式3两端分别乘以 $\Delta x\ $ ，得到： $$ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\cdot \Delta x+\Delta x\cdot \varepsilon (式4) $$
式4即是所谓的“有限增量公式”。
微分的定义
设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 有定义，且 $x_0$ 增加到 $x_0+\Delta x$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的微分定义如下: $$ \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = A\cdot\Delta x+o(\Delta x)(式5) $$
